精選回答

反三角函數(shù)是一種基本初等函數(shù)。它并不能狹義的理解為三角函數(shù)的反函數(shù)，是個(gè)多值函數(shù)。它是反正弦arcsinx，反余弦arccosx，反正切arctanx，反余切arccotx，反正割arcsecx,反余割arccscx這些函數(shù)的統(tǒng)稱(chēng)，各自表示其反正弦、反余弦、反正切、反余切，反正割，反余割為x的角。

反三角函數(shù)如何求導(dǎo)

反三角函數(shù)導(dǎo)數(shù)：（arcsinx）'=1/√（1-x²）；（arccosx）'=-1/√（1-x²）；（arctanx）'=1/（1+x²）；（arccotx）'=-1/（1+x²）。

一，反三角函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式

反正弦函數(shù)的求導(dǎo)：（arcsinx）'=1/√（1-x^2）

反余弦函數(shù)的求導(dǎo)：（arccosx）'=-1/√（1-x^2）反正切函數(shù)的求導(dǎo)：（arctanx）'=1/（1+x^2）

反余切函數(shù)的求導(dǎo)：（arccotx）'=-1/（1+x^2）

二，反三角函數(shù)的求導(dǎo)過(guò)程

反正弦函數(shù)的求導(dǎo)過(guò)程：

y=arcsinx,

那么，siny=x,

求導(dǎo)得到，cosy*y'=1

即y'=1/cosy=1/√[1-（siny）？]=1/√（1-x²）

反余弦函數(shù)的求導(dǎo)：

（arccosx）'

=（π/2-arcsinx）'

=-（arcsinX）'

=-1/√（1-x^2）

反正切函數(shù)的求導(dǎo)：

y=arctanx,x=tany,

dx/dy=sec²y=tan²y+1,

dy/dx=1/（dx/dy）=1/（tan²y+1）=1/（1+x²）

以y=arcsinx為例，來(lái)求反三角函數(shù)的求導(dǎo)過(guò)程。

（根據(jù)函數(shù)與反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)關(guān)系來(lái)證明）

設(shè)函數(shù)x=siny，y∈（-π/2，π/2），它的反函數(shù)記為為y=arcsinx，x∈（-1，1）函數(shù)f=sinx，x∈（-π/2，π/2）上單調(diào)，可導(dǎo)。x'=cosy≠0，y∈（-π/2，π/2）根據(jù)函數(shù)與反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)關(guān)系

則（arcsinx）'=1/cosy

y∈（-π/2，π/2）時(shí)，cosy＞0

所以

同理可以證明函數(shù)y=arccosx，y=arctanx，y=arccotx的導(dǎo)數(shù)。

【補(bǔ)充】

函數(shù)與反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)關(guān)系：

設(shè)y=f（x）在點(diǎn)x的某鄰域內(nèi)單調(diào)連續(xù)，在點(diǎn)x處可導(dǎo)且f'（x）≠0，則其反函數(shù)在點(diǎn)x所對(duì)應(yīng)的y處可導(dǎo)，并且有dx/dy=1/（dy/dx）

sin反函數(shù)求導(dǎo)過(guò)程

2反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)推導(dǎo)過(guò)程

其實(shí)很簡(jiǎn)單，就是利用dy/dx=1/（dx/dy），然后進(jìn)行相應(yīng)的換元比如說(shuō)，對(duì)于正弦函數(shù)y=sinx，都知道導(dǎo)數(shù)dy/dx=cosx那么dx/dy=1/cosx

而cosx=√（1-（sinx）^2）=√（1-y^2）

所以dx/dy=√（1-y^2）

y=sinx可知x=arcsiny，而dx/dy=1/√（1-y^2）

所以arcsiny的導(dǎo)數(shù)就是1/√（1-y^2）

為了好看點(diǎn)，再換下元arcsinx的導(dǎo)數(shù)就是1/V（1-x^2）反三角函數(shù)定義域

反正弦函數(shù)與反余弦函數(shù)的定義域是[-1，1]，反正切函數(shù)和反余切函數(shù)的定義域是R，反正割函數(shù)和反余割函數(shù)的定義域是（-∞，-1]U[1，+∞）。

反三角函數(shù)定義域及值域

反正弦函數(shù)

正弦函數(shù)y=sinx在[-π/2，π/2]上的反函數(shù)，叫做反正弦函數(shù)。記作arcsinx，表示一個(gè)正弦值為x的角，該角的范圍在[-π/2，π/2]區(qū)間內(nèi)。定義域[-1，1]，值域[-π/2，π/2]。

反余弦函數(shù)

余弦函數(shù)y=cosx在[0，π]上的反函數(shù)，叫做反余弦函數(shù)。記作arccosx，表示一個(gè)余弦值為x的角，該角的范圍在[0，π]區(qū)間內(nèi)。定義域[-1，1]，值域[0，π]。

反三角函數(shù)的奇偶性總結(jié)

反正弦、反正切函數(shù)是奇函數(shù)，反余弦、反余切函數(shù)是非奇非偶函數(shù)。

y=arcsinx，定義域[-1,1]，值域[-π/2,π/2]，奇函數(shù)，單調(diào)遞增。

y=arccosx，定義域[-1,1]，值域[0,π]，非奇非偶函數(shù)，單調(diào)遞減。

y=arctanx，定義域（-∞，+∞），值域（-π/2,π/2），奇函數(shù)，單調(diào)遞增。

y=arccotx，定義域（-∞，+∞），值域（0,π），非奇非偶函數(shù)，單調(diào)遞減。

反三角函數(shù)是一種基本初等函數(shù)。它是反正弦arcsinx，反余弦arccosx，反正切arctanx，反余切arccotx，反正割arcsecx，反余割arccscx這些函數(shù)的統(tǒng)稱(chēng)，各自表示其反正弦、反余弦、反正切、反余切，反正割，反余割為x的角。

反三角函數(shù)主要是三個(gè)：

y=arcsin（x），定義域[-1，1]，值域[-π/2，π/2]圖象用深紅色線(xiàn)條。

y=arccos（x），定義域[-1，1]，值域[0，π]，圖象用深藍(lán)色線(xiàn)條。

y=arctan（x），定義域（-∞，+∞），值域（-π/2，π/2），圖象用淺綠色線(xiàn)條。

y=arccot（x），定義域（-∞，+∞），值域（0，π），暫無(wú)圖象。

sin（arcsinx）=x，定義域[-1，1]，值域[-1，1]arcsin（-x）=-arcsinx。

證明方法如下：設(shè)arcsin（x）=y，則sin（y）=x，將這兩個(gè)式子代入上式即可得。

其他幾個(gè)用類(lèi)似方法可得：

cos（arccosx）=x，arccos（-x）=π-arccosx。

tan（arctanx）=x，arctan（-x）=-arctanx。